Contenido
CURSOS OBLIGATORIOS
Introducción al Análisis Funcional: Teoría de operadores. Espacios de operadores lineales. Nociones de espacios topológicos. La topología débil.
Análisis Real: Medidas. Integración. Descomposición y Diferenciación de medidas. Espacios Lp.Estructuras
Algebraicas: Anillos. Módulos. Módulos finitamente generados, módulos libres y espacios vectoriales. Módulo sobre dominios de ideales principales. Álgebra tensorial, álgebra simétrica y álgebra exterior.
Cálculo Superior: Variedades Diferenciables. Inmersiones. Campos Diferenciales. Formas Diferenciales.
CURSOS OPTATIVOS
Álgebra Lineal Avanzada: Determinante. Formas Canónicas Elementales. Forma Racional y Forma de Jordan. Aplicaciones. Formas Positivas
Tópicos de Álgebra: desarrollo de líneas y contenidos avanzados de álgebra con el objetivo de consolidar la formación matemática en el área.
Geometría Riemanniana I: Variedades Riemannianas. Métricas. Conexión afín. Conexión de Levi-Civitta de una variedad riemanniana. Curvaturas. Curvatura Gaussiana, de Ricci, escalar, y seccional. Relación entre curvatura y transporte paralelo. Geodésicas. Propiedades minimizantes de las geodésicas. Exponencial geodésica. Entornos convexos y normales. Campos de Jacobi y puntos conjugados. Variaciones por geodésicas.
Geometría Riemanniana II: Inmersiones Isométricas. Segunda forma fundamental y operador forma. Subvariedades totalmente geodésicas y totalmente umbílicas. Teorema de Hopf-Rinow. Teorema de Hadamard. Geometría de Espacios de curvatura constante: Teorema de Cartan-Ambrose-Hicks, subvariedades totalmente geodésicas y totalmente umbílicas del Espacio Hiperbólico. Distintos modelos del Espacio Hiperbólico.
Geometría de Subvariedades: Fibrado normal de una inmersión isométrica, conexión Normal, campos normales. Curvatura normal. Ecuaciones de Gauss, Codazzi, y Ricci de una inmersión isométrica. Relación entre curvatura normal y transporte paralelo. Subvariedades con fibrado normal localmente y globalmente flat. Subvariedades isoparamétricas. Geometría de subvariedades del Espacio Euclídeo e Hiperbólico.
Geometría Homogénea: Grupos y Álgebras de Lie. Métricas invariantes a izquierda y bi-invariantes en un grupo de Lie. Acción de un grupo de Lie sobre una variedad riemanniana, Grupos de Isometrías y su álgebra de Lie. Espacios Homogéneos. Ejemplos. Espacios Simétricos.
Teoría Matemática de Control: Elementos de la Teoría Clásica de Control. Sistemas de Control No Lineales. Control Óptimo.
Introducción a los Sistemas Lineales en Dimensión Infinita: Teoría de semigrupos. El Problema de Cauchy. Controlabilidad y observabilidad. Estabilidad, estabilizabilidad y detectabilidad. El Problema de Control Óptimo Lineal Cuadrático.
Control Óptimo para Sistemas en Dimensión Infinita: Semigrupos de Operadores. Espacios de Interpolación. Teoría variacional de sistemas parabólicos. Métodos de la teoría de semigrupos para sistemas con controles no acotados y operadores de observación. Controlabilidad y observabilidad para sistemas en dimensión infinita. Control cuadrático Óptimo. Sistemas con operadores de control acotados. Sistemas con operadores de control no acotados: ecuaciones parabólicas e hiperbólicas con controles en la frontera.
Cálculo de Variaciones: Problemas variacionales. Máximos y mínimos. Las ecuaciones de Euler-Lagrange. Las ecuaciones canónicas de Euler. Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Principios variacionales en mecánica. El principio del mínimo. Problemas cuadráticos. Programación dinámica. Problemas isoperimétricos. Geodésicas. Superficies de revolución mínimas. Métodos directos: el método de Raleigh-Ritz. Problemas con valores en la frontera. Aplicaciones a óptica geométrica (el principio de Fermat), dinámica de partículas, teoría de elasticidad, mecánica cuántica y electrostática.
Ecuaciones en Derivadas Parciales: Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: el problema de Cauchy. El teorema de Cauchy-Kovalevsky. El problema de Cauchy para la ecuación de ondas en R, R2 y R3. La ecuación de ondas no homogénea. La ecuación de Laplace. Función de Green. El problema de Dirichlet en una bola de Rn. Método de Perron. La ecuación de Poisson. La ecuación del calor. Núcleo de Gauss. Principio del máximo. Problema de Cauchy no homogéneo.
Transformadas de Fourier: Repaso del Análisis Funcional básico. Espacios de Banach. Espacios de Hilbert. Teoría de Operadores. Bases en Espacios de Banach. Bases de Schauder. Bases ortonormales en un espacio de Hilbert. Bases de Riesz. Estabilidad de bases. Teoría de frames. Ampliación de la Teoría clásica de Series y Transformada de Fourier.
Onditas: Onditas. El sistema de funciones de Haar. Análisis de Fourier. Relaciones básicas de la teoría de onditas. Constucción de bases de onditas. Onditas de soporte compacto. Onditas y aproximación. Onditas y espacios de Besov. Estimación estadística usando onditas. Truncación de series de onditas.
Estadística Matemática: Espacio de Probabilidad. Distribuciones Bivariadas y Multivariadas. Transformación de variables aleatorias. Muestra aleatoria. Estimación paramétrica. Estimadores de Bayes. Estimadores Máximos verosímiles. Estimadores Suficientes. Eficiencia, Suficiencia y Completitud. Distribuciones muestrales de los estimadores. Contraste de Hipótesis.
Teoría de Probabilidades y Procesos Estocásticos: Espacios de Probabilidad. Variables aleatorias. Ley de los Grandes Números y series aleatorias. Distribuciones Límites. Teorema Central del Límite. Procesos Estocásticos.
Métodos Estadísticos Robustos: Funcionales estadísticas. Diferenciabilidad en el sentido de Hadamard. Elementos de Teoría de probabilidades. Teorema de Potmanteau. Teorema de Prohorov. Estimadores M, L. y R. Cálculo sobre espacios de funciones.
Probabilidades II: Variables Aleatorias Conjuntas. Esperanza Condicional y Predicción. Distribuciones de funciones de variables. Estadísticos de orden. Distribución normal multivariante. Teoremas límites. Estimación máxima verosimilitud. Test de hipótesis.
Modelos Matemáticos: Escalado y argumento dimensionales. Optimización. Programación lineal y dinámica. Series de Tiempo. Procesos de Markov. Métodos de Montecarlo y aplicaciones. Argumento de estabilidad discretos y continuos. Teoría estadística del aprendizaje.
Tópicos Avanzados en Matemática: desarrollo de líneas, contenidos y aplicaciones que por la temática y el nivel de los disertantes sean adecuados para la formación matemática.
Ecuaciones en Derivadas Parciales Numéricas: Ecuaciones hiperbólicas elípticas y parabólicas. Dominio de dependencia y zonas de influencia. Carácter de las ecuaciones de Navier-Stokes. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos multipaso. Método de Adams. Método de Runge-Kutta. Estabilidad y convergencia de los métodos. Problemas de contorno. Integración numérica de ecuaciones hiperbólicas. Diferenciación direccional. Runge-Kutta. Criterios de estabilidad, Convergencia y consistencia. Integración numérica de ecuaciones elípticas. Ecuaciones de Laplace y Poisson. Relajación sencilla y por bloques. Resolventes rápidos por Poisson. Transformada rápida de Fourier. Métodos espectrales. Integración numérica de ecuaciones parabólicas. La ecuación del calor. Métodos implícitos y criterios de estabilidad. Ecuaciones mixtas. Problema transónico.
Método de los Elementos Finitos: Método de los Elementos Finitos. Método de los Elementos de Contorno. Método de las Diferencias Finitas. Aplicaciones Lineales..
Métodos Numéricos: Sistemas de Ecuaciones Lineales. Interpolación y Aproximación de Funciones. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Elementos Finitos. Ecuaciones Diferenciales Parciales. Métodos Numéricos.
Optimización Matemática: Condiciones de Optimalidad y dualidad. Calificadores de restricción. Dualidad y condiciones de óptimo. Algoritmo y convergencia. Optimización sin restricciones. Penalidad y funciones barrera. Método de direcciones factibles. Método del gradiente.
Sistemas Dinámicos No Lineales: Sistemas dinámicos lineales y no lineales. Sistemas dinámicos en tiempo discreto. Sincronización y caos. Sistemas dinámicos a tiempo continuo. Dimensión efectiva de un sistema dinámico. Análisis de series temporales.
Introducción al Procesamiento de Imágenes: Introducción al Procesamiento Digital de Imágenes. Realce y Transformaciones Geométricas. Filtros y Detección de Bordes. Segmentación y Representación de Contornos. Morfología Matemática. Reconocimiento de Patrones.
Procesamiento Digital de Señales: Filtrado lineal óptimo. Análisis. Predicción lineal. Búsqueda clásica. Algoritmos de gradiente estocástico. Algoritmo LMS. Algoritmos RLS.
Control o sistemas Estocásticos: Nociones básicas: Clasificación y ejemplos de Procesos Estocásticos. Sucesiones Aleatorias. Convergencias. Procesos Martingalas. Cadenas de Markov. Modelos de Colas Markovianas. Movimiento Browniano. Introducción al Cálculo Estocástico. Aplicación a Modelos Financieros. Procesos Gaussianos y Sistemas Dinámicos Lineales. Estimación y Filtrado: Filtro de Kalman.
Teoría de Aproximación: Problema de la mejor aproximación. Convergencia uniforme de la aproximación polinómica. Aproximación minimax. Aproximación L2 por polinomios algebraicos y trigonométricos. Splines polinómicos. B-Splines. Splines interpolatorios. Convergencia de splines lineales. Teorema de Whitney. Estimación del error de la aproximación. Splines perfectos. Monosplines. Splines en varias variables. Box splines. Interpolación puntual en varias variables.
